بررسی عدد احاطه ای رنگین کمانی در گراف ها

مجموعه های احاطه گر موضوعی پرکاربرد و گسترده در نظریه ی گراف است که به صورت های گوناگونی تعمیم یافته است و امروزه در سطح وسیعی در دست مطالعه و بررسی است. یکی از انواع این تعمیم ها توابع احاطه گر رنگین کمانی است. تابع ‎$f:v(g) ightarrow p({1‎, ‎2})$‎ را یک تابع احاطه گر ‎2-‎رنگین کمانی روی ‎$g$‎ گویند هرگاه به ازای هر راس ‎$vin v(g)$‎ با ویژگی ‎$f(v)=emptyset$‎ تساوی ‎$igcup_{uin n(v)}f(u)={1‎, ‎2}$‎ برقرار باشد. وزن یک تابع احاطه گر ‎2-‎رنگین کمانی به صورت ‎$omega(f)=sum_{vin v(g)}|f(v)|$‎ تعریف می شود. کم ترین وزن یک تابع احاطه گر ‎2-‎رنگین کمانی روی ‎$g$‎ را عدد احاطه ای ‎2-‎رنگین کمانی ‎$g$‎ گویند و آن را با ‎$gamma_{r2}(g)$‎ نشان می دهند. کم ترین تعداد یالی که می بایست زیرتقسیم شود (هر یال حداکثر یک بار) تا ‎$gamma_{r2}(g)$‎ افزایش یابد را عدد زیرتقسیم احاطه ای ‎2-‎رنگین کمانی ‎$g$‎ گویند و آن را با ‎${ m sd}_{gamma_{r2}}(g)$‎ نشان می دهند. % تابع احاطه گر ‎2-‎رنگین کمانی ‎$f$‎ را ماکسیمال گویند هرگاه % مجموعه ی ‎${ vin v(g) | f(v)=emptyset }$‎ یک مجموعه ی احاطه ای نباشد. %کم ترین وزن ممکن برای یک تابع احاطه گر ‎2-‎رنگین کمانی ماکسیمال روی ‎$g$‎ % را عدد ‎2-‎رنگین کمانی بیشینه ‎$g$‎ گویند و با نماد ‎$gamma_{mr}(g)$‎ %نشان داده می شود. تابع احاطه گر ‎2-‎رنگین کمانی ‎$f$‎ را مستقل گویند هرگاه هیچ دو راسی که ‎$f$‎ به آن ها مقدار غیر تهی نسبت داده است، مجاور نباشند. کم ترین وزن یک تابع احاطه گر ‎2-‎رنگین کمانی مستقل روی ‎$g$‎ را عدد احاطه ای ‎2-‎رنگین کمانی مستقل ‎$g$‎ گویند و آن را با ‎$i_{r2}(g)$‎ نمایش می دهند. پارامترهای ‎$gamma_{r2}(g)$‎ و ‎$ i_{r2}(g)$‎ را قویاً مساوی گویند هرگاه هر تابع احاطه گر ‎2-‎رنگین کمانی روی ‎$g$‎ با وزن ‎$gamma_{r2}(g)$‎، مستقل باشد و می نویسند ‎$gamma_{r2}(g) equiv i_{r2}(g)$‎. در این رساله با ارائه ی یک روش ساختاری، کلیه ی درخت ها و گراف های تک دور با ویژگی ‎$gamma_{r2}(g)equiv i_{r2}(g)$‎ را دسته بندی و عدد احاطه ای ‎2-‎رنگین کمانی در آن ها را محاسبه می کنیم. در خصوص عدد زیرتقسیم ‎2-‎رنگین کمانی نیز ثابت می کنیم که برای هر گراف ‎$g$‎ با بیش از سه راس، ‎${ m sd}_{gamma_{r2}}(g)le 3+min{d_2(v)mid vin v‎, ‎;{ mand}; d(v)ge 2}$‎ که در آن ‎$d_2(v)$‎ تعداد راس هایی از ‎$g$‎ است که در فاصله ی دو از ‎$v$‎ قرار دارند. هم چنین ثابت خواهیم کرد ‎${ m sd}_{gamma_{r2}}(g)le n-delta+2$‎ و ‎${ m sd}_{gamma_{r2}}(g)lemax{gamma_{r2}(g),delta(g)}$‎. در ادامه حدس ‎${ m sd}_{gamma_{r2}}(g)leq gamma_{r2}(g)$‎ را بیان و درستی آن برای چند دسته از گراف ها را نشان می دهیم.